ffmpegで-movflags faststartオプションを付けると、moov atomを先頭に含めることが可能ですね。
ただ、ffprobeでfaststartが有効になっているのか確認することはできません。
これは-v traceで確認することができるようです。
$ ffmpeg -v trace -i <動画ファイル.mp4> 2>&1 | grep -e type:\'mdat\' -e type:\'moov\'
mdatよりmoovが先に出力されたらfaststartが有効になっています。
